斯坦纳树的应用

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斯坦纳树问题是组合优化问题，与最小生成树相似，是最短网络的一种。最小生成树是在给定的点集和边中寻求最短网络使所有点连通。而最小斯坦纳树允许在给定点外增加额外的点，使生成的最短网络开销最小。

1. 什么是斯坦纳树？

斯坦纳树问题是组合优化学科中的一个问题。将指定点集合中的所有点连通，且边权总和最小的生成树称为最小斯坦纳树（Minimal Steiner Tree），其实最小生成树是最小斯坦纳树的一种特殊情况。而斯坦纳树可以理解为使得指定集合中的点连通的树，但不一定最小。

2. 如何求解最小斯坦纳树？

可以用DP求解，dp[i][state]表示以i为根，指定集合中的点的连通状态为state的生成树的最小总权值。

转移方程有两重：

第一重，先通过连通状态的子集进行转移。

dp[i][state]=min{ dp[i][subset1]+dp[i][subset2] }

枚举子集的技巧可以用 for(sub=(state-1)&state;sub;sub=(sub-1)&state)。

第二重，在当前枚举的连通状态下，对该连通状态进行松弛操作。

dp[i][state]=min{ dp[i][state], dp[j][state]+e[i][j] }

为什么只需对该连通状态进行松弛？因为更后面的连通状态会由先前的连通状态通过第一重转移得到，所以无需对别的连通状态松弛。松弛操作用SPFA即可。

复杂度 O(n*3^k+cE*2^k)

c为SPFA复杂度中的常数，E为边的数量，但几乎达不到全部边的数量，甚至非常小。3^k来自于子集的转移sum{C(i,n)*2^i} (1≤i≤n)，用二项式展开求一下和。

代码：

/*
 *  Steiner Tree：求，使得指定K个点连通的生成树的最小总权值
 *  st[i] 表示顶点i的标记值，如果i是指定集合内第m(0<=m<K)个点，则st[i]=1<<m 
 *  endSt=1<<K
 *  dptree[i][state] 表示以i为根，连通状态为state的生成树值
 */
#define CLR(x,a) memset(x,a,sizeof(x))
 
int dptree[N][1<<K],st[N],endSt;
bool vis[N][1<<K];
queue<int> que;
 
int input()
{
   /*
	*    输入，并且返回指定集合元素个数K
	*    因为有时候元素个数需要通过输入数据处理出来，所以单独开个输入函数。
    */
}
 
void initSteinerTree()
{
	CLR(dptree,-1);
	CLR(st,0);
	for(int i=1;i<=n;i++) CLR(vis[i],0);
	endSt=1<<input();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		dptree[i][st[i]]=0;
}
 
void update(int &a,int x)
{
	a=(a>x || a==-1)? x : a;
}
 
void SPFA(int state)
{
	while(!que.empty()){
		int u=que.front();
		que.pop();
		vis[u][state]=false;
		for(int i=p[u];i!=-1;i=e[i].next){
			int v=e[i].vid;
			if(dptree[v][st[v]|state]==-1 || 
				dptree[v][st[v]|state]>dptree[u][state]+e[i].w){
 
			    dptree[v][st[v]|state]=dptree[u][state]+e[i].w;
				if(st[v]|state!=state || vis[v][state]) 
					continue; //只更新当前连通状态
				vis[v][state]=true;
				que.push(v);
			}
		}
	}
}
 
void steinerTree()
{
	for(int j=1;j<endSt;j++){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(st[i] && (st[i]&j)==0) continue;
			for(int sub=(j-1)&j;sub;sub=(sub-1)&j){
				int x=st[i]|sub,y=st[i]|(j-sub);
				if(dptree[i][x]!=-1 && dptree[i][y]!=-1)
					update(dptree[i][j],dptree[i][x]+dptree[i][y]);
			}
			if(dptree[i][j]!=-1) 
				que.push(i),vis[i][j]=true;
		}
		SPFA(j);
	}
}