最小生成树图文讲解

本篇主要图文讲解最小生成树的实现和算法。

一、最小生成树

最小生成树（minimum spanning tree）是由n个顶点，n-1条边，将一个连通图连接起来，且使权值最小的结构。最小生成树可以用Prim（普里姆）算法或kruskal（克鲁斯卡尔）算法求出。

此外还可以用bfs和dfs生成，分别叫bfs生成树和dfs生成树。

例：

二、Prim（普里姆）算法

这里就采用的是邻接矩阵存储的，Prim和最短路中的dijkstra很像，方法：

（1）先建立一个只有一个结点的树，这个结点可以是原图中任意的一个结点。

（2）使用一条边扩展这个树，要求这条边一个顶点在树中另一 个顶点不在树中，并且这条边的权值要求最小。

（3）重复步骤（2）直到所有顶点都在树中。

如图：

#include<stdio.h>
#define MAX 100
#define MAXCOST 100000

int graph[MAX][MAX];

void prim(int graph[][MAX], int n)
{
    int lowcost[MAX];//lowcost[i]:表示以i为终点的边的最小权值,当lowcost[i]=0表示i点加入了MST
    int mst[MAX];//表示对应lowcost[i]的起点，当mst[i]=0表示起点i加入MST
    int i, j, min, minid, sum = 0;
    for (i = 2; i <= n; i++)
    {
        lowcost[i] = graph[1][i];//lowcost存放顶点1可达点的路径长度
        mst[i] = 1;//初始化以1位起始点
    }
    mst[1] = 0;
    for (i = 2; i <= n; i++)
    {
        min = MAXCOST;
        minid = 0;
        for (j = 2; j <= n; j++)
        {
            if (lowcost[j] < min && lowcost[j] != 0)
            {
                min = lowcost[j];//找出权值最短的路径长度
                minid = j; //找出最小的ID
            }
        }
        printf("V%d-V%d=%d\n",mst[minid],minid,min);
        sum += min;//求和
        lowcost[minid] = 0;//该处最短路径置为0
        for (j = 2; j <= n; j++)
        {
            if (graph[minid][j] < lowcost[j])//对这一点直达的顶点进行路径更新
            {
                lowcost[j] = graph[minid][j];
                mst[j] = minid;
            }
        }
    }
    printf("最小权值之和=%d\n",sum);
}
int main()
{
    int i, j, k, m, n;
    int x, y, cost;
    scanf("%d%d",&m,&n);//m=顶点的个数，n=边的个数

    for (i = 1; i <= m; i++)//初始化图
    {
        for (j = 1; j <= m; j++)
        {
            graph[i][j] = MAXCOST;
        }
    }
    for (k = 1; k <= n; k++)
    {
    scanf("%d%d%d",&i,&j,&cost);
        graph[i][j] = cost;
        graph[j][i] = cost;
    }

    prim(graph, m);
    return 0;
}

三、kruskal（克鲁斯卡尔）算法

Kruskal 算法是能够在O(mlogm) 的时间内得到一个最小生成树的算 法。它主要是基于贪心的思想：

（1）将边按照边权从小到大排序，并建立一个没有边的图T。

（2）选出一条没有被选过的边权最小的边。

（3）如果这条边两个顶点在T 中所在的连通块不相同，那么将 它加入图T， 相同就跳过。

（4）重复（2）和（3）直到图T连通为止。

其实这里只需要维护连通性，可以不需要真正建立图T，还可以用并查集来维护。

这里用邻接表（不是链表）进行操作：

#include <stdio.h>
#define MAXE 100
#define MAXV 100
typedef struct{
	int vex1;                     //边的起始顶点
	int vex2;                      //边的终止顶点
	int weight;                    //边的权值
}Edge;
void kruskal(Edge E[],int n,int e)
{
	int i,j,m1,m2,sn1,sn2,k,sum=0;
	int vset[n+1];
	//借用一个辅助数组vset[i]用来判断某边是否加入了最小生成树集合
	//就是把每个顶点都看成一个连通分量，并查集数组初始化
	for(i=1;i<=n;i++)        //初始化辅助数组
		vset[i]=i;
	k=1;//表示当前构造最小生成树的第k条边，初值为1
  	j=0;//E中边的下标，初值为0
   while(k<e)//生成的边数小于e时继续循环
   {
       m1=E[j].vex1;
       m2=E[j].vex2;//取一条边的两个邻接点
       sn1=vset[m1];
       sn2=vset[m2];
	       //分别得到两个顶点所属的集合编号
	    if(sn1!=sn2)//两顶点分属于不同的集合，该边是最小生成树的一条边
	    {//防止出现闭合回路
			printf("V%d-V%d=%d\n",m1,m2,E[j].weight);
			sum+=E[j].weight;
			k++;                //生成边数增加
			if(k>=n)
				break;
			for(i=1;i<=n;i++)    //两个集合统一编号
				if (vset[i]==sn2)  //集合编号为sn2的改为sn1
					vset[i]=sn1;
	    }
     j++;                  //扫描下一条边
   }
    printf("最小权值之和=%d\n",sum);
}
//以下为快排
int fun(Edge arr[],int low,int high)
 {
 	int key;
 	Edge lowx;
 	lowx=arr[low];
 	key=arr[low].weight;
 	while(low<high)
 	{
 		while(low<high && arr[high].weight>=key)
 			high--;
 		if(low<high)
 			arr[low++]=arr[high];

 		while(low<high && arr[low].weight<=key)
 			low++;
 		if(low<high)
 			arr[high--]=arr[low];
	 }
	 arr[low]=lowx;
	 return low;
  }
void quick_sort(Edge arr[],int start,int end)
{
	int pos;
	if(start<end)
	{
	pos=fun(arr,start,end);
	quick_sort(arr,start,pos-1);
	quick_sort(arr,pos+1,end);
	}
}
int main()
{
	Edge E[MAXE];
	int nume,numn;
    //freopen("1.txt","r",stdin);//文件输入
	printf("输入顶数和边数:\n");
	scanf("%d%d",&numn,&nume);
	for(int i=0;i<nume;i++)
		scanf("%d%d%d",&E[i].vex1,&E[i].vex2,&E[i].weight);
	quick_sort(E,0,nume-1);
	kruskal(E,numn,nume);
}